Question

已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解．

Answer 1

解：解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；
用定义：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞2
∴f（x₂）+f（-x₁）-2＞2
∴f（x₂）+f（-x₁）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：
f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x₂）+4-f（x₁）＞4
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上递增，
又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是：不等式f（a²-2a-2）＜3等价于f（a²-2a-2）＜f（1）
∴a²-2a-2＜1
∴-1＜a＜3．
所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．
分析：本题考查的是抽象函数问题，已知抽象函数的运算性质，常用“赋值法”．有具体函数背景的抽象函数问题，如果是客观题，可以用具体函数求解．如本题：可设f（x）=kx+b，根据条件求出k、b，再解不等式．
点评：本题考查的是抽象函数及其应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的应用、抽象不等式的转化以及二次不等式的解法．值得同学们体会和反思．