Question

19．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．
（Ⅰ）求进入决赛的人数；
（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为$\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$，从而X～$（2，\frac{18}{25}）$，由此能求出X的分布列及数学期望．
（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：$\left\{\begin{array}{l}{8≤x≤10}\\{9.5≤y≤10.5}\end{array}\right.$，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．

解答 解：（Ⅰ）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴总人数为$\frac{7}{0.14}=50$（人）．…（2分）
∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即进入决赛的人数为36．…（4分）
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为$\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$，
∴X～$（2，\frac{18}{25}）$，$P（{x=0}）=C_2^0{（\frac{7}{25}）^2}=\frac{49}{625}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{7}{25}）（\frac{18}{25}）=\frac{252}{625}$，
$P（{x=2}）=C_2^2{（\frac{18}{25}）^2}=\frac{324}{625}$．…（6分）
∴所求分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{49}{625}$	$\frac{252}{625}$	$\frac{324}{625}$

$EX=2×\frac{18}{25}=\frac{36}{25}$，两人中进入决赛的人数的数学期望为$\frac{36}{25}$．…（8分）
（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，
则基本事件满足的区域为：$\left\{\begin{array}{l}{8≤x≤10}\\{9.5≤y≤10.5}\end{array}\right.$，
事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．…（10分）
∴由几何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{16}$．
即甲比乙远的概率为$\frac{1}{16}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．