Question

14．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y²=4x上，另一个顶点C（4，0），则这样的正三角形有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．

解答 解：由题意，当等边三角形关于x轴轴对称时
两个边的斜率k=±tan30°=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，其方程为：
y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-4），
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．
两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质和数形结合思想，主要是利用抛物线和正三角形的对称性．