Question

14．（1）用分析法证明：$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$；
（2）已知a＞0，b＞0，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥a+b．

Answer 1

分析 分别通过分析法即可证明．

解答 证明（1）要证：$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$，
只要证：（$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$）²＜（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²，
只要证13+2$\sqrt{40}$＜13+2$\sqrt{42}$，
只要证$\sqrt{40}$＜$\sqrt{42}$，
只要证40＜42，显然成立，
故$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$；
（2）要证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥a+b，
只要证b³+a³≥ab（a+b），
只要证（a+b）（a²+b²-ab）≥ab（a+b），
只要证a²+b²-ab≥ab，
只要证a²+b²-2ab≥0，
只要证（a-b）²≥0，显然成立，
故证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥a+b

点评 本题考查了利用分析法证明不等式成立，属于中档题．