Question

已知点（

5π

12

，2）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象上，直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

（1）求f（x）的解析式和单递增区间；
（2）将y=f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），所得到的函数对应的函数记为g（x），求函数g（x）在[

π

8

，

3π

8

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据已知及周期公式可求得ω的值，由已知再求φ的值，从而可求得f（x）的解析式和单递增区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换先求解析式，进而可求最值．

解答： 解：（1）由条件，

T

2

=

π

2

，∴

2π

ω

=π，∴ω=2…（2分）
又2sin(2×

5π

12

+φ)=2，得2×

5π

12

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜

π

2

，∴φ=-

π

3

，…（4分）
∴f（x）的解析式为f(x)=2sin(2 x-

π

3

)，
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，从而可解得函数的单调递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．…（6分）
（2）将y=f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，得y=2sin(2 x-

2π

3

)，再将图象上所有点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变）得 g(x)=2sin(4 x-

2π

3

)
而x∈[

π

8

， 

3π

8

]，  ∴-

π

6

≤4x-

2π

3

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(4 x-

2π

3

)  ≤1，
∴函数g（x）在[

π

8

， 

3π

8

]上的最大值为，2，最小值为-1．…（12分）

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．