Question

（本小题满分12分）
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	(0,15]	4	0.1
第二组	(15,30]	12	0.3
第三组	(30,45]	8	0.2
第四组	(45,60]	8	0.2
第三组	(60,75]	4	0.1
第四组	(75,90)	4	0.1

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．

Answer 1

（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．（2）该居民区的环境需要改进．
（3）变量的分布列为

	0	1	2

（天）,或（天）.

解析试题分析：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．   …………………4分
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）．
因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．       …………………………………………8分
（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.
随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以，
所以变量的分布列为

	0	1	2

（天）,或（天）  ……………12分
考点：本题主要考查离散型随机变量的期望；二项分布。
点评：确定分布列及数学期望，计算概率是关键，涉及组合、排列问题，注意公式的正确运用，属中档题。