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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		6
    3
    ，短轴的一个端点到右焦点的距离为
    		3
    ，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若坐标原点O到直线l的距离为
    		3
    2
    ，求△AOB面积的最大值．
    分析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
    （2）分类讨论，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系，结合基本不等式，即可求△AOB面积的最大值．
    解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，离心率为
    		6
    3
    ，短轴的一个端点到右焦点的距离为
    		3
    ，
    ∴
    c
    a
    =
    		6
    3
    ，a=
    		3

    ∴c=
    		2
    ，∴b=1，∴所求椭圆方程
    x2
    3
    +y2=1    ；
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
    ①当AB⊥x轴时，|AB|=
    		3
    ．
    ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
    ∵坐标原点O到直线l的距离为
    		3
    2
    ，∴
    |m|
    		1+k2
    =
    		3
    2
    ，∴得m2=
    3
    4
    （k2+1）．
    把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
    ∴x1+x2=-
    6km
    3k2+1 
    ，x1x2=
    3m2-3 
    3k2+1 
    ．
    ∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=3+
    12k2
    9k4+6k2+1
    =3+
    12
    9k2+
    1
    k2
    +6
    ≤3+
    12
    2×3+6
    =4    （k≠0）
    当且仅当9k2=
    1
    k2 
    ，即k=±
    		3
    3
    时等号成立．
    当k=0时，|AB|=
    		3
    ，
    综上所述|AB|max=2．
    ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=
    1
    2
    ×2×
    		3
    2
    =
    		3
    2
    ．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，求|AB|的最大值是关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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