Question

下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（　　）

• A、f（x）=|tan2x|
• B、f（x）=-|x+1|
• C、f（x）=

  1

  2

  （2^-x-2^x）
• D、f（x）=log

  3

  2

  2-x

  2+x

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：分别根据函数的奇偶性和单调性的定义进行判断即可．

解答： 解：A，f（x）=|tan2x|为偶函数，不满足第一个条件．
B，f（x）=-|x+1|为非奇非偶函数，不满足第一个条件．
C，若f（x）=

1

2

（2^-x-2^x），则f（-x）=

1

2

（2^x-2^-x）=-f（x）为奇函数，
∵f（x）=

1

2

[（

1

2

）^x-2^x]，y=（

1

2

）^x为减函数，y=2^x，为增函数，y=-2^x为减函数，
∴根据函数单调性的性质可知，函数f（x）在R上单调递减，满足条件．
D，若f（x）=log

3

2

2-x

2+x

，则由

2-x

2+x

＞0得-2＜x＜2，f（-x）=log

3

2

2+x

2-x

=-f(x)为奇函数，
∵f（x）=log

3

2

2-x

2+x

=log

3

2

(

4

x+2

-1)，
∴由复合函数的单调性可知函数f（x）在定义域上为增函数，不满足条件，
故选：C．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．