Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤

1

2

x²+2对一切实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对一切实数x∈[-1，1]，不等式f（x+1）＜f（

t

2

）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可的一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤

1

2

x²+2对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．
（2）由题意可得

1

4

（x+3）²＜f（

t

2

）恒成立，求得

1

4

（x+3）² 取得最大值为4，故有f（

t

2

）＞4，即

1

4

•

t2

4

+

t

2

+1＞4，由此求得t的范围．

解答： 解：（1）根据二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），可得4a-2b+c=0 ①，
∵不等式2x≤f（x）≤

1

2

x²+2对一切实数x都成立，∴当x=2时也成立，即4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4 ②．
由①②求得 b=1，4a+c=2，∴f（x）=ax²+x+2-4a，∴2x≤ax²+x+2-4a≤

1

2

x²+2，
即

ax2-x+2-4a≥0 (a- 1 2 )•x2+x-4a≤0

 恒成立，∴

a＞0 △=1-4a(2-4a)≤0 a- 1 2 ＜0 △′=1-4(a- 1 2 )•(-4a)≤0

．
求得a=

1

4

，∴c=2-4a=1，
∴f（x）=

1

4

x²+x+1．
（2）∵对一切实数x∈[-1，1]，不等式f（x+1）＜f（

t

2

）恒成立，即

1

4

（x+3）²＜f（

t

2

）恒成立，
由于当x=1时，

1

4

（x+3）² 取得最大值为4，故有f（

t

2

）＞4，即

1

4

•

t2

4

+

t

2

+1＞4，即 （t+12）（t-4）＞0，
求得t＜-12，或t＞4．

点评：本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．