Question

【题目】已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：（为常数）相交于点.

（1）求证：当与垂直时，必过圆心；

（2）当时，求直线的方程；

（3）当直线的倾斜角变化时，探索的值是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或；（3）为常数,该常数为

【解析】

(1)根据直线与垂直可得到直线的斜率,由点斜式可得的方程,由圆的方程可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线的方程满足可证结论正确,

(2)利用弦长的一半,半径和勾股定理可求得,再讨论直线的斜率,利用点到直线的距离公式列等式可解得.

(3)利用,将转化为,再讨论直线的斜率是否存在,可得点的坐标,利用向量的数量积运算可得结论.

如图所示:

(1)证明: 当与垂直时,,所以直线的方程为:,即,

又圆：的圆心为满足直线的方程,

所以当与垂直时，必过圆心

(2)因为圆：的圆心,半径为3,

根据圆的性质可知,,所以有,

所以,所以,所以,

当直线的斜率不存在时,满足,

当直线的斜率存在时,设,即,

由点到直线的距离可得,解得,

所以,即,

综上所述:直线的方程为或.

(3)因为,所以,

所以,

①当与轴垂直时,易得,

则,,

所以,

②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,

则由 得 ,所以,

则,

所以

.

综上所述: 为常数,该常数为.