【题目】已知过点的动直线
与圆
:
相交于
、
两点,
是
中点,
与直线
:
(
为常数)相交于点
.
(1)求证:当与
垂直时,
必过圆心
;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)当直线的倾斜角
变化时,探索
的值是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)或
;(3)
为常数,该常数为
【解析】
(1)根据直线与
垂直可得到直线
的斜率,由点斜式可得
的方程,由圆的方程可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线
的方程满足可证结论正确,
(2)利用弦长的一半,半径和勾股定理可求得,再讨论直线
的斜率,利用点到直线的距离公式列等式可解得.
(3)利用,将
转化为
,再讨论直线
的斜率是否存在,可得点
的坐标,利用向量的数量积运算可得结论.
如图所示:
(1)证明: 当与
垂直时,
,所以直线
的方程为:
,即
,
又圆:
的圆心为
满足直线
的方程,
所以当与
垂直时,
必过圆心
(2)因为圆:
的圆心
,半径为3,
根据圆的性质可知,,所以有
,
所以,所以
,所以
,
当直线的斜率不存在时,
满足
,
当直线的斜率存在时,设
,即
,
由点到直线的距离可得,解得
,
所以,即
,
综上所述:直线的方程为
或
.
(3)因为,所以
,
所以,
①当与
轴垂直时,易得
,
则,
,
所以,
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,即
,
则由 得
,所以
,
则,
所以
.
综上所述: 为常数,该常数为
.
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【题目】如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、
轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过
秒时移动的位置设为
,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______.
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【题目】某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第 1 年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用(
)表示A型车床在第n年创造的价值.
(1)求数列的通项公式
;
(2)记为数列
的前n项的和
,企业经过成本核算,若
万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列
是单调递减数列,则数列
也是单调递减数列).
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,
,
,
,
,
(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1) 经计算估计这组数据的中位数;
(2)现按分层抽样从质量为,
的芒果中随机抽取
个,再从这
个中随机抽取
个,求这
个芒果中恰有
个在
内的概率.
(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:
A:所以芒果以元/千克收购;
B:对质量低于克的芒果以
元/个收购,高于或等于
克的以
元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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【题目】北京地铁八通线西起四惠站,东至土桥站,全长,共设13座车站
目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准,各站间计程票价
单位:元
如下:
四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
四惠东 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
高碑店 | 3 | span>3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | |||
传媒大学 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
双桥 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
管庄 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
八里桥 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
果园 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
九棵树 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
梨园 | 3 | 3 | |||||||||||
临河里 | 3 | ||||||||||||
土桥 | |||||||||||||
四惠 | 四惠东 | 高碑店 | 传媒大学 | 双桥 | 管庄 | 八里桥 | 通州北苑 | 果园 | 九棵树 | 梨园 | 临河里 | 土桥 |
1
在13座车站中任选两个不同的车站,求两站间票价为5元的概率;
2
在土桥出站口随机调查了n名下车的乘客,将在八通线各站上车情况统计如下表:
上车站点 | 通州北苑
| 双桥 | 四惠
|
频率 | a | b | |
人数 | c | 15 | 25 |
求a,b,c,n的值,并计算这n名乘客乘车平均消费金额;
3
某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站,中途任选一站出站一次,之后再从该站乘车
若想两次乘车花费总金额最少,可以选择中途哪站下车?
写出一个即可
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【题目】某地种植常规稻A和杂交稻B,常规稻A的亩产稳定为500公斤,统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%.统计杂交稻B的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如下,参考数据见下.
(1)求出频率分布直方图中m的值,若各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B的亩产平均值;
(2)判断杂交稻B的单价y(单位:元/公斤)与种植亩数x(单位:万亩)是否线性相关,若相关,试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程;
(3)调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩,估计明年常规稻A的单价,若在常规稻A和杂交稻B中选择,明年种植哪种水稻收入更高?
统计参考数据:,
,
,
,
附:线性回归方程,
.
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【题目】下列四个命题:
①若,
,则
②函数,的最小值是3
③用长为的铁丝围成--个平行四边形,则该平行四边形能够被直径为
的圆形纸片完全覆盖
④已知正实数,
满足
,则
的最小值为
.
其中所有正确命题的序号是__________.
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