Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₅=11，且a₄+a₈=26．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设b_n=2^a_n-a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n=2n+1．
（Ⅱ）由bn=2an-a_n=2²ⁿ⁺¹-（2n+1），由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （本题满分13分）
解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，
则a₅=a₁+4d=11，a₁+3d+a₁+7d=26
解得a₁=3，d=2…（4分）
所以a_n=2n+1…（5分）
（Ⅱ）∵bn=2an-a_n=2²ⁿ⁺¹-（2n+1）…（2分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）-[3+5+…+（2n+1）]…（4分）
=

23(1-4n)

1-4

-

3+2n+1

2

×n…（6分）
=

1

3

(22n+3-8)-n2-2n…（8分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．