Question

设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项的和为S_n，点（a_n，S_n）在函数y=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

的图象上；数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n+1•（a_n+1-a_n）=b_n，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得S_n=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，从而a_n-a_n-1=4（n≥2），又a₁=2，由此得到a_n=4n-2，从而b₁=2，

bn+1

bn

=

1

4

，由此得到bn=2•(

1

4

)n-1．
（2）由c_n=

an

bn

=（2n-1）•4^n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项的和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项的和为S_n，
点（a_n，S_n）在函数y=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

的图象上，
∴由已知条件得S_n=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，①
当n≥2时，S_n-1=

1

8

an-12+

1

2

an-1+

1

2

，②
①-②得：an=

1

8

(an2-an-12)+

1

2

(an-an-1)，
即an+an-1=

1

4

(an+an-1)(an-an-1)，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
又a₁=2，∴a_n=4n-2，
∵b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，
∴b₁=2，

bn+1

bn

=

1

4

，∴bn=2•(

1

4

)n-1．
（2）∵c_n=

an

bn

=（2n-1）•4^n-1，
∴T_n=1+3•4+5•4²+…+（2n-1）•4^n-1，
4T_n=4+3•4²+5•4³+…+（2n-1）•4ⁿ，
两式相减得-3T_n=1+2（4+4²+4³+…+4^n-1）-（2n-1）•4ⁿ
=1+2×

4(1-4n-1)

1-4

-（2n-1）•4ⁿ
=-

5

3

-（2n-

5

3

）•4ⁿ，
∴T_n=

5

9

+

(6n-5)

9

•4n．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．