Question

已知函数，在上的最小值记为．(1)求；(2)证明：当时，恒有.

Answer 1

 [解析] (1)因为，所以，

(i)当时，若，则，故在上是减函数；若，则，，故在上是增函数．所以.

(ii)当时，有，则，，故在上是减函数，所以.综上，

(2)证明：令．(i)当时，

若，则，得，则在上是增函数，所以在上的最大值是，而，所以，故.

若，则，得，则在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，知在上是增函数，所以，即.故.

(ii)当时，，故，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是.故.综上，当时，恒有.