Question

定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).

(1)求f(0)；

(2)求证：f(x)为奇函数；

(3)若f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

解析：

(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.

(2)证明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，

所以f(x)是奇函数.

(3)解：方法一：因为f(x)在R上是增函数，

又由(2)知f(x)是奇函数.

f(k·3^x)<－f(3^x－9^x－2)＝f(－3^x＋9^x＋2)，

所以k·3^x<－3^x＋9^x＋2，

3^2x－(1＋k)·3^x＋2>0对任意x∈R恒成立.

令t＝3^x>0，问题等价于t²－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立.

令f(t)＝t²－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝，

当<0即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；

当≥0即k≥－1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立⇔

解得－1≤k<－1＋2.

综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)<0对任意x∈R恒成立.

方法二：由k·3^x<－3^x＋9^x＋2，得k<3^x＋－1.

u＝3^x＋－1≥2－1,3^x＝时，取“＝”，即u的最小值为2－1，

要使对x∈R，不等式k<3^x＋－1恒成立，只要使k<2－1.