Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PB=2$\sqrt{3}$，PA=ED=2AE=2．
（1）若$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PC}$（λ∈R），且PA∥平面BEF，求λ的值；
（2）求证：PE⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BE于点M，连接FM，根据PA与平面BEF平行，且平面PAC与平面BEF交于直线FM，得到FM与AP平行，再由EM与CD平行得比例，即可确定出λ的值；
（2）在直角三角形APE中，由AP与AE的长，利用余弦定理求出PE的长，可得PE与AD垂直，再由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，即可得证；
（3）由（2）可得PE垂直于平面ABCD，可得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，利用锐角三角函数定义求出所求角即可．

解答 （1）解：连接AC交BE于点M，连接FM，
∵PA∥平面BEF，平面PAC∩平面BEF=FM，
∴FM∥AP，
∵EM∥CD，
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∵FM∥AP，
∴$\frac{PF}{FC}$=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{2}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$；
（2）∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
∴PE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD；
（3）由（2）知，PE⊥平面ABCD，
∴∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，
在Rt△PEB中，sin∠PBE=$\frac{PE}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，即∠PBE=30°，
则直线PB与平面ABCD所成的角为30°．

点评 此题考查了直线与平面所成的角，以及直线与平面垂直的判定，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．