Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n+1．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）判断{a_n}是递增还是递减数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a₁=-$\frac{1}{2}$，a_n=S_n-S_n-1=3a_n+1-（3a_n-1+1）=3a_n-3a_n-1，数列{a_n}是首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，由此能求出a_n．
（Ⅱ）利用作差法，a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1＜0，即可判断．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3a_n+1，
∴n=1时，S₁=a₁=3a₁+1，解得a₁=-$\frac{1}{2}$，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n+1-（3a_n-1+1）=3a_n-3a_n-1，
∴3a_n-1=2a_n，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
∴数列{a_n}是首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，
∴a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1．
（Ⅱ）∵a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1＜0，
∴{a_n}是递减数列

点评 本题考查数列的通项公式的求法以及数列的单调性，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用