Question

已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃ x]=4，则函数g（x）=f（x-1）-f′（x-1）-3的零点所在区间是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，3）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：导数的运算,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃ x]=4，可设f（x）-log₃ x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．

解答： 解：∵对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃ x]=4，
∴可设f（x）-log₃ x=c（c为常数），则f（x）=log₃ x+c，
∴f[f（x）-log₃ x]=f（c）=log₃c+c=4，∴c=3，
∴f（x）=log₃ x+3，
∴g（x）=f（x-1）-f′（x-1）-3=log₃（x-1）-

1

x-1

log₃e在（1，+∞）上为增函数，
g（2）=-log₃e＜0，g（3）=log₃2-

1

2

log₃e=log₃

2

e

＞0，
由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．
故选B．

点评：本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．