Question

7．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是$\frac{\sqrt{3}}{6}$，四棱锥侧面中最大侧面的面积是$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，即可求出它的体积、四棱锥侧面中最大侧面的面积．

解答 解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，
△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，
所以四棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB=PC=$\sqrt{2}$，BC=1，面积是$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$；$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力．