Question

17．求函数f（x）=x²+2x在[t，1]上的值域．

Answer 1

分析 函数f（x）=（x+1）²-1 的图象的对称轴方程为x=-1，分类讨论t的范围，利用二次函数的性质求得函数在[t，1]上的值域．

解答 解：函数f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，图象的对称轴方程为x=-1．
当-1≤t＜1时，函数f（x）=x²+2x在[t，1]上单调递增，最小值为f（t）=t²+2t，最大值为f（1）=3，函数的值域为[t²+2t，3]．
当-3≤t＜-1时，函数f（x）=x²+2x在[t，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，函数的最小值为f（-1）=-1，最大值为f（1）=3，函数的值域为[-1，3]．
当t＜-3时，函数f（x）=x²+2x在[t，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，函数的最小值为f（-1）=-1，最大值为f（t）=t²+2t，函数的值域为[-1，t²+2t]．

点评 本题主要考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．