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(本小题满分14分)设是定义在[-1,1]上的偶函数,的图象与的图象关于直线对称,且当x∈[ 2,3 ] 时, 222233
(1)求的解析式;
(2)若上为增函数,求的取值范围;
(3)是否存在正整数,使的图象的最高点落在直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],f(x)="g(2-x)=" -2ax+4x3;当x∈时,f(x)=f(-x)=2ax-4x3
………………………………………4分
(2)由题设知,>0对x∈恒成立,即2a-12x2>0对x∈恒成立,于
是,a>6x2,从而a>(6x2)max=6.………………………8分
(3)因f(x)为偶函数,故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值.
=2a-12x2=0,得.…10分      若,即0<a≤6,则

故此时不存在符合题意的
>1,即a>6,则上为增函数,于是
令2a-4=12,故a=8.综上,存在a = 8满足题设.………………14分

解析

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