Question

对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，均有f′（x）＞f（x）成立，则称函数f（x）是J函数．
（Ⅰ）当函数f（x）=me^xlnx是J函数时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）为（0，+∞）上的J函数，试比较g（a）与e^a-1g（1）的大小．

Answer 1

考点：导数的运算,不等式比较大小

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据J函数的定义，解不等式f'（x）＞f（x），通过这个不等式，我们可以求出m的取值范围，
（2）根据函数g（x）为（0，+∞）上的J函数，构造函数，利用函数的单调性进行判断．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=me^xlnx，可得f′（x）=m（e^xlnx+

ex

x

），
因为函数f（x）是J函数，所以m（e^xlnx+

ex

x

）＞me^xlnx，
即

mex

x

＞0，
因为

ex

x

＞0，所以m＞0，
即m的取值范围为（0，+∞）．
（Ⅱ）构造函数h（x）=

g(x)

ex

，x∈（0，+∞），
则h′(x)=

g′(x)-g(x)

ex

＞0，可得h（x）为（0，+∞）上的增函数，
当a＞1时，h（a）＞h（1），即

g(a)

ea

＞

g(1)

e

，得g（a）＞e^a-1g（1）；
当0＜a＜1时，h（a）＜h（1），即

g(a)

ea

＜

g(1)

e

，得g（a）＜e^a-1g（1）；
当a=1时，h（a）=h（1），即

g(a)

ea

=

g(1)

e

，得g（a）=e^a-1g（1）．

点评：本题主要考查导数的计算，根据函数的定义结合函数的导数公式是解决本题的关键．