Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，a₁，a₂，a₄成等比数列，2a₅=S₃+8
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和Tn=

3n

an+1

，对任意n≥2且n∈N^*，不等式b_n＜kT_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁，a₂，a₄成等比数列，2a₅=S₃+8，建立方程，求出a₁=d=2，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）

bn

Tn

=1-

Tn

Tn-1

=

2

3

-

2

3(2n-1)

＞

2

3

，利用对任意n≥2且n∈N^*，不等式b_n＜kT_n恒成立，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁，a₂，a₄成等比数列，2a₅=S₃+8，
∴(a1+d)2=a₁（a₁+3d），2（a₁+4d）=3a₁+3d+8，d≠0，
∴a₁=d=2，
∴a_n=2n；

（Ⅱ）∵数列{b_n}的前n项和Tn=

3n

an+1

，
∴n=1时，

b1

T1

=1；
n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，∴

bn

Tn

=1-

Tn-1

Tn

=

2

3

-

2

3(2n-1)

＞

2

3

，
∵对任意n≥2且n∈N^*，不等式b_n＜kT_n恒成立，
∴k≥

2

3

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．