Question

四面体的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，记其中最大的面积为S，则

4 i-1 Si

3S

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：当四个面面积相等，都为S时，此时

S1+S2+S3+S4

S

取最大值4；当四个面面积不等时，由于是四面体，有轻微隆起，其他3个面的和大于S，

S1+S2+S3+S4

S

取最小值2，确定出

S1+S2+S3+S4

S

的范围，即可求出所求式子的范围．

解答： 解：∵四面体的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，S表示它们的最大值，
∴当S₁=S₂=S₃=S₄时，

S1+S2+S3+S4

S

取最大值4，即

S1+S2+S3+S4

S

≤4，
∵棱锥的高趋近0时，S₁+S₂+S₃+S₄的值趋近2，
∴S₁+S₂+S₃+S₄＞2S，即

S1+S2+S3+S4

S

＞2，
∴2＜

S1+S2+S3+S4

S

≤4，即

2

3

＜

S1+S2+S3+S4

3S

≤

4

3

，
则

4 i-1 Si

3S

的取值范围是（

2

3

，

4

3

]，
故答案为：（

2

3

，

4

3

]

点评：此题考查了棱锥的结构特征，找出

S1+S2+S3+S4

S

的范围是解本题的关键．