Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是△A₁BD内任一点（不包括边界），定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是点M到平面ADD₁A₁，平面ABB₁A₁，平面ABCD的距离，若f（M）=（

1

2

，x，y），且ax+y-18xy≥0恒成立，则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,平面与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：充分利用已知条件求出x+y的关系，转化ax+y-18xy≥0恒成立为a的不等式，通过基本不等式求出表达式的最大值，然后求出a的最小值即可．

解答： 解：如图取CD的中点R，AB的中点GA₁B₁的中点S，由题意可知平面RGS到平面
ADD₁A₁的距离为：

1

2

，平面RGS与平面△A₁BD的交线为EF，所以M在EF上运动．
f（M）=（

1

2

，x，y），x，y分别是点M到平面ABB₁A₁，平面ABCD的距离，如图中红线段，三角形EGF是等腰直角三角形，所以x+y=

1

2

，并且0＜x＜

1

2

，0＜y＜

1

2

．
ax+y-18xy≥0恒成立，
即a≥

18xy-y

x

=

(18x-1)y

x

=

(18x-1)( 1 2 -x)

x

=10-（18x+

1

2x

）．
18x+

1

2x

≥2

18x• 1 2x

=6，当且仅当x=

1

6

时，等号成立，
此时10-（18x+

1

2x

）≤4．
∴a≥4．
故答案为：4．

点评：本题考查空间几何体中，点的轨迹问题，基本不等式的应用，函数恒成问题，难度比较大．