Question

设x＞0，则“a≥1”是“x+

a

x

≥2恒成立”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：先求命题“对任意的正数x，不等式x+

a

x

≥2成立”的充要条件，再利用集合法判断两命题间的充分必要关系

解答： 解：∵x＞0，若a≥1，则x+

a

x

≥2

a

≥2恒成立，
若x+

a

x

≥2恒成立，即x²-2x+a≥0恒成立，
设f（x）=x²-2x+a，则△=（-2）²-4a≤0，或

△=(-2)2-4a≥0 f(0)=a＞0

，解得：a≥1，
故“a≥1”是“x+

a

x

≥2恒成立的充分必要条件，
故选：C．

点评：本题考查了命题充要条件的判断方法，求命题充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法．