Question

已知函数f（x）=x+1，点（n+1，

an+1

an

）（n∈N⁺）在y=f^-1（x）上，且a₁=a₂=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=

a1

2!

+

a2

3!

+…+

an

(n+1)!

，若S_n＞m恒成立，求常数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由函数y=x+1，解得x=y-1，把x与y互换可得y=f^-1（x）=x-1，因此

an+1

an

=n，利用“累乘求积”即可得出；
（2）由（1）可得S_n=

1

2

+

1

6

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

，利用“裂项求和”、数列的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由函数y=x+1，解得x=y-1，把x与y互换可得y=x-1，∴y=f^-1（x）=x-1，
∴

an+1

an

=n+1-1=n，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an

•…

a3

a2

•a2=（n-1）!，
当n=1时也成立，
∴a_n=（n-1）!．
（2）由（1）可得S_n=

a1

2!

+

a2

3!

+…+

an

(n+1)!

=

1

2

+

1

6

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)，
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵S_n＞m恒成立，
∴m＜(

m

m+1

)min，
∴m＜

1

2

．
∴常数m的取值范围是m＜

1

2

．

点评：本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”、反函数的求法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．