Question

已知函数f（x）=x²-cosx，对于[-

π

2

，

π

2

]上的任意x₁，x₂，有如下条件：①|x₁|＞|x₂|；②x

2 1

＞x

2 2

；
③cosx₁＞cosx₂；④sinx₁＞sinx₂．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是（　　）

• A、①②③
• B、①②
• C、①②④
• D、②③

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据函数f（x）为偶函数，且其导数在[0，

π

2

]上大于0恒成立，可知f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调性，然后结合给出的四个条件逐一进行判断．

解答： 解：函数f（x）=x²-cosx为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤

π

2

时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，

π

2

]上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在[-

π

2

，0]上为减函数．
当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上为偶函数得f（x₁）＞f（x₂），故①②成立；
当x1，x2∈[-

π

2

，0]时，由cosx₁＞cosx₂，得x₁＞x₂，此时f（x₁）＜f（x₂），③不正确；
当x1，x2∈[-

π

2

，0]时，由sinx₁＞sinx₂，得x₁＞x₂，此时f（x₁）＜f（x₂），④不正确．
∴能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是①②．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．