Question

已知点P（m，4）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆的半径为

3

2

，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，再由三角形的面积公式以及内切圆的圆心与三个顶点将三角形△PF₁F₂分成三个小三角形，分别求面积再求和，得到a，c的方程，由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a，
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=

1

2

×2c×4=4c，
由△PF₁F₂的内切圆的半径为

3

2

，
则S△PF1F2=

1

2

×

3

2

（m+n+2c）=

3

4

（2a+2c）=

3

2

（a+c），
即有4c=

3

2

（a+c），
即为5c=3a，
则离心率e=

c

a

=

3

5

．
故答案为：

3

5

．

点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的面积公式和面积的分割法，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．