Question

已知直线y=

1

2

x与抛物线y²=2px（p＞0）交于O，A两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求焦点F的坐标为（0.5p，0），再求得A坐标（4p，8p），从而有（4p-0.5p）²+（8p-0）²=AF²=17²，可解得p的值，从而可求OA的垂直平分线的方程．

解答： 解：由题意可得：F（0.5p，0），
由y=

x

2

，得：x=2y，
可得：y²=2px=2p•2y，
∴可得：y=4p，x=8p，
∴可得：A（8p，4p），
∴（4p-0）²+（8p-0.5p）²=AF²=17²，
∴72.25p²=17²，
∵p＞0，∴可解得：p=2，
∴OA的垂直平分线的方程是：y-4p=-2•（x-2p），
即y-4=-2•（x-8）．
化简后一般式为：2x+y-20=0．

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生分析解决问题的能力，考查了转化思想．