Question

已知f（x）=2

x

+

1

x

+1
（1）求函数f（x）在x=4处的切线方程（用一般式作答）；
（2）令F（x）=2x

x

+（1-m）x+1，若关于x的不等式F（x）≤0有实数解．求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数f（x）在x=4处的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法结合导数求函数的最值即可．

解答： 解：（1）由题f′(x)=

1

x

-

1

x2

，则f′(4)=

7

16

，f(4)=

21

4

，
则所求切线为y-

21

4

=

7

16

(x-4)
即7x-16y+56=0
（2）F(x)≤0?mx≥2x

x

+x+1，显然x=0时不是不等式的解，故x＞0，
则等价为m≥2

x

+

1

x

+1，
设f（x）=2

x

+

1

x

+1，
则f′(x)=

1

x

-

1

x2

，
由f′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0得

1

x

＞

1

x2

，解得0＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′(x)=

1

x

-

1

x2

＜0得

1

x

＜

1

x2

，解得x＞1，此时函数单调递减，
则函数在x=1时取得极大值同时也是最大值f（1）=2+1+1=4，
则m≥4．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求切线斜率，以及构造函数求出函数的最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力．