Question

2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气．《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》依据AQI指数高低把空气污染级别分为：优，指数为0-50；良，指数为51-100；轻微污染，指数为101-150；轻度污染，指数为151-200；中度污染，指数为201-250；中度重污染，指数为251-300；重度污染，指数大于300．下面表1是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，表2是该观测点记录的4天里，AQI指数M与当天的空气可见度y（千米）的情况，
表1：北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计

AQI指数	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
频数	3	6	12	6	3

表2：AQI指数M与当天的空气水平可见度y（千米）情况

AQI指数M	900	700	300	100
空气可见度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

（Ⅰ）小王在记录表1数据的观测点附近开了一家小饭馆，饭馆生意的好坏受空气质量影响很大．假设每天空气质量的情况不受前一天影响．经小王统计：AQI指数不高于200时，饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在200至400时，饭馆平均每天净利润约400元，AQI指数大于400时，饭馆每天要净亏损200元，求小王某一天能够获利的概率
（Ⅱ）设变量x=

M

100

，根据表2的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=

∑ n j=1 xjyj-n . x . y

∑ n j=1 xj2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）AQI指数不高于200时，饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在200至400时，饭馆平均每天净利润约400元，AQI指数大于400时，饭馆每天要净亏损200元，直接求小王某一天能够获利的概率．
（Ⅱ）利用x=

M

100

，根据表2的数据，求出样本中心点的坐标，利用b=

∑ n j=1 xjyj-n . x . y

∑ n j=1 xj2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

求出b，a，即可求解y关于x的线性回归方程；

解答： 解：（Ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为

3

30

=0.1，
AQI指数在200至400的频率为

6

30

=0.2，故小王某一天能够获利的概率为0.1+0.2=0.3…（4分）
（Ⅱ）由x=

M

100

，则x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，

.

x

=5，

.

y

=5

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

x

2 i

=140
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5×(-

21

20

)=

41

4

∴y关于x的线性回归方程是y=-

21

20

x+

41

4

…（12分）

点评：本题考查线性回归方程的求法，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．