Question

四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2

2

，则该球表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：将三视图还原为直观图，得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．

解答： 解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，
且与该正方体内接于同一个球．
设该正方体的棱长为a，
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，
设EF中点为G，连接OG，OA，AG，
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2

2

，即正方体面对角线长也是2

2

，
可得AG=

2

=

2

2

a，
所以正方体棱长a=2，
∴Rt△OGA中，OG=

1

2

a=1，AO=

3

，
即外接球半径R=

3

，
∴外接球表面积为4πR²=12π，
故答案为：12π

点评：在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．