Question

某工厂某种产品的年产量为1000x件，其中x∈[20，100]，需要投入的成本为C（x），当x∈[20，80]时，C（x）=

1

2

x²-30x+500（万元）；当x∈（80，100]时，C（x）=

20000

x

（万元）．若每一件商品售价为

lnx

x

（万元），通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于x的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利润L（x）等于销售收入减去投入成本C（x），根据产量的范围列出分段函数解析式；
（2）当x∈[20，80]时，利用导数法求最值，当x∈（80，100]时，利用函数的单调性求最值．

解答： 解：（1）由题意知L（x）=1000lnx-C（x）=

1000lnx-( 1 2 x2-30x+500)，x∈[20，80] 1000lnx- 20000 x ，x∈(80，100]

；
（2）当x∈[20，80]时，L′（x）=-

(x-50)(x+20)

x

，
∴L（x）在[20，50）上单调递增，[50，80）上单调递减，
∴x=50时，L₁（x）_max=1000ln50-250（万元）；
x∈（80，100]时，L（x）=1000lnx-

20000

x

单调递增，
∴L₂（x）_max=1000ln100-2000（万元）；
∵L₁（x）_max-L₂（x）_max=1750-1000ln2＞1750-1000＞0，
∴x=50，即年产量为50000件时，利润最大为1000ln50-250（万元）．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数的值域的求法，训练了利用导数法求最值，是中档题．