Question

16．己知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，F是BC的中点
（1）证明：面PDF⊥面PAF．
（2）PA=2，求三棱锥P-ADF外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AF=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，则有DF²+AF²=AD²，则DF⊥AF．再由PA⊥平面ABCD，得DF⊥PA．由线面垂直的判定得DF⊥平面PAF，进一步得面PDF⊥面PAF．
（2）取PD的中点O，连接AO，FO，由PA=2，结合（1）可得OA=OP=OD=OF，则O为球心，解直角三角形求出三棱锥P-ADF外接球的半径，代入体积公式得答案．

解答 （1）证明：∵AD=2，AB=1，F是BC的中点，
∴AF=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，则DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA．
又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．
∵DF?面PDF，∴面PDF⊥面PAF；
（2）解：取PD的中点O，连接AO，FO，
由（1）知DF⊥PF，在Rt△PAD与Rt△PFD中，有OA=OP=OD=OF，
∴O为球心．
∵PA=2，AD=2，PD=$2\sqrt{2}$，∴球半径R=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥P-ADF外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥外接球体积的求法，属中档题．