Question

9．已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）＜f（x）恒成立，若f（e+1）=1（其中e是自然对数的底数），则不等式f（lnx+x）-e^lnx+x-e-1＜0的解集为（　　）

• A． （0，e）
• B． （e，+∞）
• C． （0，e+1）
• D． （e+1，+∞）

Answer 1

分析 将原不等式变形为$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1＜0，构造辅助函数，g（x）=$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1，（x＞0），求得根据已知条件求得g′（x）＜0，g（x）单调递减，由g（e）=0，g（x）＜g（e），根据函数单调性，即可求得不等式的解集

解答 解：将所求不等式变形为$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1＜0，
令g（x）=$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1，（x＞0）
则g′（x）=$\frac{f′（lnx+x）•（\frac{1}{x}+1）•{e}^{lnx+x}-f（lnx+x）•{e}^{lnx+x}•（\frac{1}{x}+1）}{（{e}^{lnx+x}）^{2}}$，
=$\frac{[f′（lnx+x）-f（lnx+x）]•（\frac{1}{x}+1）}{{e}^{lnx+x}}$，
∵f′（x）＜f（x）恒成立，
∴f′（lnx+x）-f（lnx+x）＜0，
即g′（x）＜0．
∴g（x）为其定义域上的减函数．
又g（e）=$\frac{f（e+1）}{{e}^{e+1}}$-e^-e-1=0，
∴g（x）＜g（e），
∴不等式的解集为：（e，+∞），
故选：B．

点评 本题考查利用导数法求函数的单调性，考查采用构造法求不等式的解集，函数单调性的应用，考查计算能力，属于难题．