Question

已知函数f(x)＝e^x，a，bR，且a＞0．

（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；

（2）设g(x)＝a(x－1)e^x－f(x)．

① 当a＝1时，对任意x (0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；

② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．

Answer 1

【解析】

所以b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．         …………………………………………8分

记h(x)＝x²－2x－（x＞0），则h′(x)＝．

设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．

因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，

所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．           …………………………………………16分

解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．