Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AC与PD所成角的余弦值；

（3）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

(1)先证PA⊥BC, PA⊥CD,再根据直线与平面垂直的判定定理可证结论;

(2)以为原点,以射线分别为轴建立空间直线坐标系,利用空间向量的坐标可求得结果;

(3)利用平面PDC和平面PDB的法向量的坐标,计算可得二面角B﹣PD﹣C的余弦值.

（1）证明：∵底面ABCD是边长为1的正方形，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

又PB⊥BC，AB∩PB＝B，且都在平面PAB内，

∴BC⊥平面PAB，

又PA在平面PAB内，

∴PA⊥BC，

同理，由PD⊥DC，CD⊥AD，且PD∩AD＝D，都在平面PAD内，

∴CD⊥平面PAD，

又PA在平面PAD内，

∴PA⊥CD，

∵BC∩CD＝C，且都在平面ABCD内，

∴PA⊥平面ABCD；

（2）由（1）知，PA⊥平面ABCD，且，，建立如图所示空间直角坐标系，

由题意可得，A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），D（1，0，0），B（0，1，0），

∴，

∴，

∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为；

（3）由（2）知，，，

设平面PDC的一个法向量为，则，∴，

令x＝1，则z＝1，∴，

设平面PDB的一个法向量为，则，∴，

令a＝1，则b＝1，c＝1，

∴，

∴，即二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．