【题目】在直角坐标系中, 椭圆的中心在坐标原点,其右焦点为,且点 在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线交椭圆于另一点,直线交直线于点, 求证:三点在同一条直线上
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)(法一)由题意,求得椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,求得,进而求得的值,即可得到椭圆的标准方程;
(法二)设椭圆的方程为(),列出方程组,求得的值,得到椭圆的标准方程。
(2)设,,直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系和向量的运算,即可证得三点共线。
(1)(法一)设椭圆的方程为,
∵一个焦点坐标为,∴另一个焦点坐标为,
∴由椭圆定义可知,
∴,∴,∴椭圆的方程为.
(法二)不妨设椭圆的方程为(),
∵一个焦点坐标为,∴,①
又∵点在椭圆上,∴,②
联立方程①,②,解得,,
∴椭圆的方程为.
(2)设,,直线的方程为,
由方程组消去,并整理得:,
∵,∴,,
∵直线的方程可表示为,
将此方程与直线联立,可求得点的坐标为,
∴,
∵
,所以,
又向量和有公共点,故,,三点在同一条直线上.
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【题目】如图所示的几何体中,四边形为正方形,AD∥B,平面ABC⊥平面BC,AB=AC=,AD=1,∠ABC=45°。
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求点C到平面D的距离。
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【题目】已知两点A(-,0),B(,0),动点P在y轴上的投影是Q,且.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G,H,M,N,且E1,E2分别是GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.
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【题目】下列命题中错误的是( )
A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
B. 若两个平面平行,则分别位于这两个平面的直线也互相平行;
C. 平行于同一个平面的两个平面平行;
D. 若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;
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【题目】已知数列满足a1=m,an+1= (k∈N*,r∈R),其前n项和为.
(1)当m与r满足什么关系时,对任意的n∈N*,数列{an}都满足an+2=an?
(2)对任意实数m,r,是否存在实数p与q,使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列.若存在,请求出p,q满足的条件;若不存在,请说明理由;
(3)当m=r=1时,若对任意的n∈N*,都有Sn≥λan,求实数λ的最大值.
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【题目】对于函数①,②,③,
判断如下两个命题的真假:
命题甲: 在区间上是增函数;
命题乙: 在区间上恰有两个零点,且.
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是
A. ① B. ② C. ①③ D. ①②
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【题目】如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成,其中为2百米,为.若在半圆弧,线段,线段上各建一个观赏亭,再修两条栈道,使. 记.
(1)试用表示的长;
(2)试确定点的位置,使两条栈道长度之和最大.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)若α=,求线段AB中点M的坐标;
(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP|,其中P(2,),求直线l的斜率.
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