Question

【题目】已知两点A(－，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

（1）设出动点坐标，根据计算可得轨迹C的方程．（2）分两种情况考虑，当两直线的斜率都存在且不为0时，分别设出两直线的方程，联立方程组求得、的中点的坐标，从而得到直线的方程，再讨论直线所过的定点为；当两直线的斜率分别为0和不存在时，直线的方程为y＝0，也过点，从而可得结论成立．

试题解析：

(1)解：设点P坐标为(x，y)，

∴点Q坐标为(0，y).

∵2·＝||2，

∴2[(－－x)(－x)＋y2]＝x2，

化简得点P的轨迹方程为＋＝1.

(2)证明：①当两直线的斜率都存在且不为0时，

设直线的方程为y＝k(x－1)，则直线的方程为y＝ (x－1)．

由消去y整理得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

则Δ>0恒成立.

设G(x1，y1)，H(x2，y2)，

则x1＋x2＝，且x1x2＝.

∴GH中点E1坐标为，

同理，MN中点E2坐标为，

∴，

∴直线的方程为，

整理得y＝，

∴直线过定点．

②当两直线的斜率分别为0和不存在时，直线的方程为y＝0，也过点．

综上所述直线过定点．