Question

2．过函数y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$图象上的点（1，2）作函数图象的切线，则切线方程为x+2y-5=0或0.1x-y+1.9=0．

Answer 1

分析 求出导数，设出切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点（1，2），求得切点的横坐标，可得切线的方程．

解答 解：函数y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设切点为（m，n），n=$\sqrt{m}$+$\frac{1}{m}$，
切线的斜率为k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
可得切线的方程为y-（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{2\sqrt{m}}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（x-m），
代入点（1，2），可得2-（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{2\sqrt{m}}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（1-m），
令t=$\sqrt{m}$（t＞0），即有-t⁵+4t⁴-t³-4t²+2=0，
化简为（t-1）²（-t³+2t²+4t+2）=0，
解得t=1或-t³+2t²+4t+2=0，
设f（t）=-t³+2t²+4t+2，
f′（t）=-3t2+4t+4=-（t-2）（3t+2），
当t＞2时，f（t）递减，
由f（3）＞0，f（4）＜0，
f（3.5）＜0，可得f（t）在（3，3.5）有一零点，
又f（3.25）＞0，即有f（t）在（3.25，3.5）有一个零点，
可得f（t）的零点为3.36，
即$\sqrt{m}$=3.36，k=0.1，
综上可得，切线的斜率为-$\frac{1}{2}$或0.1，
切线的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-1）或y-2=0.1（x-1）．
即为x+2y-5=0或0.1x-y+1.9=0．
故答案为：x+2y-5=0或0.1x-y+1.9=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，确定切点和正确求导是解题的关键．