Question

9．如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD=3，AB=6，CB=6，P是平面α上的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 ∠PBA为所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出$\frac{PA}{PB}=\frac{DA}{BC}=\frac{1}{2}$．求出P在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出∠PBA的最大值对于的余弦值．

解答 解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD?β，
∴AD⊥α，同理：BC⊥α．
∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，∠CPB为直线PC与平面α所成的角，
∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°，
∴△DAP∽△CPB，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{DA}{BC}=\frac{1}{2}$．
在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（-3，0），B（3，0）．设P（x，y），（y＞0）
∴2$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x+5）²+y²=16．
∴P点在平面α内的轨迹为以M（-5，0）为圆心，以4为半径的上半圆．
∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，
∴∠PBA为二面角P-BC-D的平面角．
∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．
此时PM=4，MB=8，MP⊥PB，∴PB=4$\sqrt{3}$．
cos∠PBA=$\frac{PB}{MB}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二面角的计算，