Question

4．当x∈[0，2]时，函数f（x）=ax²+4（a-1）x-3在x=2时取得最大值，则实数a的取值范围是[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 分a＞0，a=0，a＜0三种情况进行讨论，然后根据x的范围结合图象进行求解．

解答 解：对称轴为x=$\frac{2-2a}{a}$，
1）当a＞0时，
要使x=2时候取得最大值，则 $\frac{2-2a}{a}$≤1，解得a≥$\frac{2}{3}$，
2）当a=0时，f（x）=-4x-3，x=0时候取得最大值，不符合题意，
3）当a＜0时，要使x=2时候取得最大值，则 $\frac{2-2a}{a}$≥2，a≥$\frac{1}{2}$，与a＜0相悖．
综上所述a的取值范围为[$\frac{2}{3}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．