Question

15．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD．
（1）证明：EF∥面BCD；
（2）证明：面ACD⊥面CEF；
（3）求三棱锥O₁-OBF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明DEFO是平行四边形，可得EF∥DO，利用线面平行的判定定理证明：EF∥面BCD；
（2）证明：CF⊥面ACD，利用平面与平面垂直的判定定理证明面ACD⊥面CEF；
（3）利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥O₁-OBF的体积．

解答 （1）证明：连接OD，则
由题意，OE⊥AF，AOED是平行四边形，∴DE∥AO，DE=AO，
∵AO=OF，
∴DE∥OF，DE=OF，
∴DEFO是平行四边形，∴EF∥DO
∵EF?面BCD，DO?面BCD，
∴EF∥面BCD；
（2）证明：∵AF是圆O的直径，∴AC⊥CF
∵AD与两圆所在的平面均垂直，CF?圆O，
∴AD⊥CF，
∵AD∩AC=A，
∴CF⊥面ACD，
∵CF?面CEF，
∴面ACD⊥面CEF；
（3）解：∵AB=AC=6，∴BC=6$\sqrt{2}$．
∴△OBF的面积为$\frac{1}{2}×（3\sqrt{2}）^{2}$=9
∵AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，
∴三棱锥O₁-OBF的体积V=$\frac{1}{3}×9×8$=24．

点评 本题考查线面平行、平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．