Question

7．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1（n∈N^*），则使不等式a₂₀₁₆＞2016成立的所有正整数a₁的集合为（　　）

• A． {a₁|a₁≥2016，a₁∈N^*}
• B． {a₁|a₁≥2015，a₁∈N^*}
• C． {a₁|a₁≥2014，a₁∈N^*}
• D． {a₁|a₁≥2013，a₁∈N^*}

Answer 1

分析 化简构造可得{（a_n-1）²}是以（a₁-1）²为首项，以1为公差的等差数列，从而可得（a_n-1）²=（a₁-1）²+n-1，从而代入求解即可．

解答 解：∵a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1，
∴a_n+1-1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+2}$，
∴（a_n+1-1）²=（a_n-1）²+1，
∴{（a_n-1）²}是以（a₁-1）²为首项，以1为公差的等差数列，
∴（a_n-1）²=（a₁-1）²+n-1，
∴（a₂₀₁₆-1）²=（a₁-1）²+2015，
∴（a₁-1）²=（a₂₀₁₆-1）²-2015＞2015×2014，
又∵a₁为正整数，
∴a₁-1＞$\sqrt{2015×2014}$，
∴a₁≥2016，
故选A．

点评 本题考查了数列的性质的判断及整体思想与转化思想的应用，同时考查了构造法的应用．