Question

18．若f（x）是定义在（-1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（　　）

• A． f（sinx）＞f（cosx）
• B． f（$\frac{{x}^{2}+1}{2}$）＞f（x）
• C． f（$\frac{1}{{3}^{x}+1}$）≥f（$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）
• D． f（$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$）≥f（$\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$）

Answer 1

分析 由三角函数线可判断出$x∈（\frac{π}{4}，1）$时，sinx＞cosx，根据f（x）的单调性便可判断选项A的正误，而对于B，C，D各选项可通过对自变量的值进行作差，配方，通分及提取公因式等方法，根据x的范围及指数函数的单调性便可判断出自变量值的大小关系，从而由f（x）的单调性即可判断出对应函数值的大小关系，从而判断选项的正误．

解答 解：A．x∈$（\frac{π}{4}，1）$时，sinx＞cosx；
∵f（x）在（-1，1）上为减函数；
∴f（sinx）＜f（cosx），∴该选项错误；
B．x∈（-1，1）；
∴$\frac{{x}^{2}+1}{2}-x=\frac{1}{2}（x-1）^{2}$＞0；
∴$\frac{{x}^{2}+1}{2}＞x$，且f（x）在（-1，1）上单调递减；
∴$f（\frac{{x}^{2}+1}{2}）＜f（x）$，∴该选项错误；
C.$\frac{1}{{3}^{x}+1}-\frac{1}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}-{3}^{x}}{（{3}^{x}+1）（{2}^{x}+1）}$=$\frac{{3}^{x}[（\frac{2}{3}）^{x}-1]}{（{3}^{x}+1）（{2}^{x}+1）}$；
∵x∈（-1，1）；
∴x∈（-1，0）时，$（\frac{2}{3}）^{x}＞1$；
∴$\frac{1}{{3}^{x}+1}＞\frac{1}{{2}^{x}+1}$，且f（x）在（-1，1）上为减函数；
∴$f（\frac{1}{{3}^{x}+1}）＜f（\frac{1}{{2}^{x}+1}）$，∴该选项错误；
D.$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}-\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{3}^{x}[（\frac{2}{3}）^{x}-1][1-（\frac{1}{6}）^{x}]}{（{3}^{x}+{3}^{-x}）（{2}^{x}+{2}^{-x}）}$；
∴①x∈（-1，0]时，$（\frac{2}{3}）^{x}-1≥0，1-（\frac{1}{6}）^{x}≤0$；
∴$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}≤\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
②x∈（0，1）时，$（\frac{2}{3}）^{x}-1＜0，1-（\frac{1}{6}）^{x}＞0$；
∴$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}＜\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
∴综上得，$\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}≤\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
∵f（x）为（-1，1）上的减函数；
∴$f（\frac{1}{{3}^{x}+{3}^{-x}}）≥f（\frac{1}{{2}^{x}+{2}^{-x}}）$，∴该选项正确．
故选D．

点评 考查根据三角函数线比较sinx，cosx大小的方法，减函数的定义，作差法比较两个式子的大小，配方法的应用，以及指数函数的单调性．