Question

9．已知函数f（x）=lnx，g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²，h（x）=$\frac{1}{2}$x²．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）对于函数f（x）与h（x）定义域内的任意实数x，若存在直线y=kx+b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线，求证：直线y=x-$\frac{1}{2}$为函数f（x）与h（x）的分界线．

Answer 1

分析 （1）通过对g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²求导可知g′（x）=$\frac{a-{x}^{2}}{x}$，分a≤0与a＞0两种情况讨论即可．
（2）通过解析式可知x的取值范围是（0，+∞），通过记m（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{2}$）并求导可知m（x）≤m（1），通过记n（x）=h（x）-（x-$\frac{1}{2}$）并求导可知n（x）≥n（1），进而计算可得结论．

解答 （1）解：∵g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴g′（x）=$\frac{a}{x}$-x=$\frac{a-{x}^{2}}{x}$，
①当a≤0时，显然当x＞0时g′（x）恒小于零，
此时函数g（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$或x=-$\sqrt{a}$（舍），
∴当0＜x＜$\sqrt{a}$时函数g（x）单调递增，当x＞$\sqrt{a}$时函数g（x）单调递减；
综上所述，当a≤0时函数g（x）的单调递减区间为（0，+∞），
当a＞0时函数g（x）的单调递增区间为（0，$\sqrt{a}$）、单调递减区间为（$\sqrt{a}$，+∞）；
（2）证明：依题意，x的取值范围是（0，+∞），
记m（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{2}$）=lnx-x+$\frac{1}{2}$，则m′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
∵m（x）的单调递增区间为（0，1）、单调递减区间为（1，+∞），
∴m（x）≤m（1）=0-1+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$＜0，即f（x）≤x-$\frac{1}{2}$；
记n（x）=h（x）-（x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{1}{2}$，则n′（x）=x-1，
∵n（x）的单调递减区间为（0，1）、单调递减增间为（1，+∞），
∴n（x）≥n（1）=$\frac{1}{2}$-1+$\frac{1}{2}$=0，即h（x）≥x-$\frac{1}{2}$；
根据分界线的定义可知，直线y=x-$\frac{1}{2}$为函数f（x）与h（x）的分界线．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合能力，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．