Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足关系|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|（k为正数）．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积用k表示的解析式f（k）．
（2）$\overrightarrow{a}$能否与$\overrightarrow{b}$垂直？$\overrightarrow{a}$能否与$\overrightarrow{b}$平行？若不能，说明理由；若能，求出相应的k值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的定义与性质，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的解析式，即可得出函数f（k）；
（2）根据f（k）的最小值得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≠0，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不垂直；当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行时，利用平面向量的坐标表示求出对应k的值，即得结论．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
∵|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，（k为正实数）．
∴k²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k²${\overrightarrow{b}}^{2}$），
化为k²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=3-6k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3k²，
化为∴8k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2k²+2，
f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$；
（2）∵k＞0，∴f（k）=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$≥$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当k=1时，f（k）取得最小值为$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≠0，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能垂直；
当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行时，cosαsinβ-sinαcosβ=0，
∴sin（α-β）=0，
∴α-β=nπ，n∈Z；
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$≥$\frac{1}{2}$，
∴令$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=1，即k²-4k+1=0，
解得k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$，
即当k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行．

点评 本题考查了数量积的运算性质、基本不等式的性质、模长公式的应用问题，也考查了推理能力和计算能力，是中档题目．