Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（2＞b＞0）的上，下顶点分别为A，B，过点B的直线与椭圆交于另一点D，与直线y=-2交于点M．
（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，求三角形AMD的面积S的值；
（Ⅱ）若直线AM，AD的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，求椭圆C的方程及$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MD}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆方程可得A，B，D的坐标，M的坐标，运用三角形的面积公式即可得到所求面积的值；
（Ⅱ）由椭圆方程可得A，B的坐标，求得D的坐标，M的坐标，运用直线的斜率公式，和向量的数量积的坐标表示，即可得到所求取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得
A（0，1），B（0，-1），D（2，0），
直线BD的方程为y=$\frac{1}{2}$x-1，
代入y=-2可得M（-2，-2），
即有三角形AMD的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•（x_D-x_M）=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
（Ⅱ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（2＞b＞0）可得
A（0，b），B（0，-b），
设直线BD的方程为y=kx-b，代入椭圆方程可得
（b²+4k²）x²-8kbx=0，
解得D（$\frac{8kb}{{b}^{2}+4{k}^{2}}$，$\frac{4{k}^{2}b-{b}^{3}}{{b}^{2}+4{k}^{2}}$），
代入y=-2可得M（$\frac{b-2}{k}$，-2），
由直线AM，AD的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，
可得$\frac{k（2+b）}{2-b}$•$\frac{-2{b}^{3}}{8kb}$=-$\frac{3}{4}$，
化为（b-1）（b²+3b+6）=0，
解得b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
即有A（0，1），D（$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4{k}^{2}-1}{4{k}^{2}+1}$），M（-$\frac{1}{k}$，-2），
$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{1}{k}$，3），$\overrightarrow{MD}$=（$\frac{1+12{k}^{2}}{k（1+4{k}^{2}）}$，$\frac{1+12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
则$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MD}$=$\frac{1+12{k}^{2}}{{k}^{2}（1+4{k}^{2}）}$+$\frac{3（1+12{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{（1+3{k}^{2}）（1+12{k}^{2}）}{{k}^{2}（1+4{k}^{2}）}$
=$\frac{36{k}^{4}+15{k}^{2}+1}{4{k}^{4}+{k}^{2}}$=9+$\frac{1+6{k}^{2}}{4{k}^{4}+{k}^{2}}$，
令1+6k²=t（t＞1），则k²=$\frac{t-1}{6}$，
可得9+$\frac{1+6{k}^{2}}{4{k}^{4}+{k}^{2}}$=9+$\frac{18t}{2{t}^{2}-t-1}$=9+$\frac{18}{2t-\frac{1}{t}-1}$，
由2t-$\frac{1}{t}$＞1，可得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MD}$＞9．
可得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MD}$的取值范围是（9，+∞）．

点评 本题考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程，考查椭圆方程的求法，注意运用直线和椭圆方程求得交点，考查直线的斜率公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．