Question

已知函数f（x）=m（x-1）e^x+x²（m∈R）
（1）若m=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≤-1时，求函数f（x）在[m，1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）若m=-1，f（x）=-（x-1）e^x+x²，f′（x）=-x（e^x-2），由导数的正负确定函数的单调区间；
（2）令f′（x）=mxe^x+2x=x（me^x+2）=0解得，x=0或x=ln（-

2

m

），从而讨论m以确定函数的单调性，从而求函数f（x）在[m，1]上的最小值．

解答： 解：（1）若m=-1，f（x）=-（x-1）e^x+x²，
f′（x）=-x（e^x-2），
则当x＞ln2或x＜0时，f′（x）＜0，
f（x）=-（x-1）e^x+x²在（-∞，0），（ln2，+∞）上单调递减；
同理，f（x）=-（x-1）e^x+x²在（0，ln2）上单调递增；
（2）f′（x）=mxe^x+2x=x（me^x+2），
∵m≤-1，
∴令x（me^x+2）=0解得，x=0或x=ln（-

2

m

），
①若-2＜m≤-1，
则f（x）在[m，0]上单调递减，在[0，ln（-

2

m

）]单调递增，在[ln（-

2

m

），1]上单调递减；
又∵f（0）=-m，f（1）=1，
故f_min（x）=1；
②若m=-2，则f（x）在[m，1]上单调递减，
故f_min（x）=f（1）=1；
③若m＜-2，
则f（x）在[m，ln（-

2

m

）]上单调递减，在[ln（-

2

m

），0]单调递增，在[0，1]上单调递减；
又∵f（ln（-

2

m

））=ln²（-

2

m

）-2ln（-

2

m

）+2＞1，f（1）=1，
故f_min（x）=1；
综上所述，f_min（x）=1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．