Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y﹣5t=0，直线l：x+3y+15=0．
（1）若直线l被圆C截得的弦长为 ，求实数t的值；
（2）当t=1时，由直线l上的动点P引圆C的两条切线，若切点分别为A，B，则在直线AB上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C的方程可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25+5t

故圆心为C（3，4），半径

则圆心C到直线l的距离为

又弦长为 ，则 即 ，解得t=15

（2）解：当t=1时，圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y﹣5=0①

则圆心为C（3，4），半径 ，圆C与直线l相离假设在直线AB上存在一个定点满足条件，设动点P（m，n）

由已知得PA⊥AC，PB⊥BC

则A，B在以CP为直径的圆（x﹣3）（x﹣m）+（y﹣4）（y﹣n）=0

即x2+y2﹣（3+m）x﹣（4+n）y+3m+4n=0上②

①﹣②得，直线AB的方程为（m﹣3）x+（n﹣4）y﹣3m﹣4n﹣5=0③

又点P（m，n）在直线l上，则m+3n+15=0，即m=﹣3n﹣15，代入③式

得（﹣3n﹣18）x+（n﹣4）y+9n+45﹣4n﹣5=0

即直线AB的方程为18x+4y﹣40+n（3x﹣y﹣5）=0

因为上式对任意n都成立，故 ，得

故在直线AB上存在一个定点，定点坐标为（2，1）

【解析】（1）根据直线和圆相交，利用弦长公式进行求解即可．（2）利用直线和圆相切的条件，建立方程关系进行求解判断．